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4. Bislang war von beliebigen einfachen Ringen III = AI die Rede, jetzt betrachten wir einfache Algebren Ill. Satz 3 behalt seine Bedeutung. Er kann aber auch auf die Automorphismen von III selbst angewendet werden und ergibt: Sat z 5. Die P elementweise festlassenden A utomorphismen einer einfaehen Algebra ilber P sind innere Automorphismen. (NOETHER [4J, SKOLEM [1J, BRAUER [5J; vgl. auch II, § 9, Satz 7). r: r rt, r: IV. Einfache Algebren. 44 Satz 4 kann verscharft werden: Q: wird auch eine einfache Algebra, die Beziehung zwischen )8 und Q: erweist sich als symmetrisch, und es gelten gewisse Rangrelationen: Satz 6.

I) erzeugt werden, bilden a auf Null abo Da ferner Elemente aus verschiedenen lUi das Produkt Null haben, so entsteht durch diagonales Aneinanderreihen der Diskriminantenmatrizes M (ui ) die Diskriminantenmatrix M (u), wenn noch der Rest mit Nullen aufgefiillt wird. Daraus folgt die Behauptung. Satz 3. Die Diskriminanten D(u) einer Algebra IU/P sind dann und nur dann von Null verschieden, wenn durch Erweiterung des Grundkarpers P zu einem algebraisch abgeschlossenen Karper Q eine halbeinfache Algebra IU,Q entsteht.

1st umgekehrt Z maximaler Teilk6rper von AT' so wird A = Z, da Adjunktion eines einzigen Elementes von L1 zu Z eine kommutative Erweiterung von Z ergibt. Wir bemerken noch, daB ein maximaler Teilkorper von An der irreduzibel in AT eingebettet ist, zugleich maximaler kommutativer Teilring ist. Das folgt aus Satz 4, der elementweise mit Z vertauschbare Teilring von AT in Divisionsalgebra. Die Existenz von ZerfaJlungsk6rpern endlichen Grades ist jetzt leicht einzusehen: Ein maximaler Teilk6rper der zu 5lf geh6rigen Divisionsalgebra A ist irreduzibel in A eingebettet, muB also Zerfillungsk6rper sein.

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