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By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d'approximation est aujourd'hui l'un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Il allie los angeles profondeur de los angeles th?orie math?matique aux promesses d'applications pratiques d'un int?r?t consid?rable. l. a. plupart des probl?mes issus d'applications suitable de domaines aussi diff?rents que l. a. notion de circuits VLSI, los angeles belief et los angeles planification de r?seaux, l'ordonnancement, l. a. th?orie des jeux, los angeles biologie ou l. a. th?orie des nombres, sont des probl?mes NP-difficiles. Leur r?solution exacte demanderait des ressources informatiques inaccessibles et ne peut donc ?tre envisag?e. Pour faire face ? cette state of affairs, un grand nombre d'algorithmes proposant des ideas approch?es ? ces probl?mes ont ?t? d?velopp?s. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de l. a. derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d'?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre disclose ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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10 Maximum coverage, en anglais. 2. 16 En vous appuyant sur le probl`eme de la couverture par sommets, donnez des algorithmes d’approximation pour les variantes suivantes du surfacteur minimum (on note ici sR le mot miroir de s) : 1. Trouvez un mot minimum contenant une occurrence de si et une de sR i pour tout mot si ∈ S. i n. Indication : Prenez pour univers l’ensemble des si et sR i pour 1 2. Trouvez un mot minimum contenant une occurrence de si ou une de sR i , pour tout mot si ∈ S. Indication : D´efinissez set(π) = {s ∈ S | s ou sR est un facteur de π}.

2 est dˆ u a` Johnson [158], Lov´ asz [200], et Chv´atal [51]. La preuve de l’inapproximabilit´e de la couverture par ensembles, d´emontrant que cet algorithme est essentiellement le meilleur possible, fut donn´ee par Feige [87], qui a am´elior´e le r´esultat de Lund et Yannakakis [207]. L’application au surfacteur minimum a ´et´e propos´ee par Li [195]. 3 L’arbre de Steiner et le voyageur de commerce Nous pr´esentons dans ce chapitre des algorithmes d’approximation pour deux probl`emes fondamentaux : l’arbre de Steiner m´etrique et le voyageur de commerce m´etrique.

Ce probl`eme et ses g´en´eralisations sont ´etudi´es de fa¸con approfondie dans ce livre (voir chapitres 22 et 23). 1 (Arbre de Steiner)1 Etant donn´e un graphe non orient´e G = (V, E) muni d’une fonction de coˆ ut positive sur les arˆetes, et dont les sommets sont ´etiquet´es requis ou Steiner, trouver l’arbre coˆ ut minimum dans G qui contienne tous les sommets ´etiquet´es requis et n’importe quel sous-ensemble des sommets ´etiquet´es Steiner. Nous allons commencer par d´emontrer que le cœur du probl`eme est sa restriction au cas o` u la fonction de coˆ ut sur les arˆetes v´erifie l’in´egalit´e triangulaire, c’est-`a-dire le cas o` u G est un graphe complet et que pour tout triplet de sommets u, v, et w, coˆ ut(uv) coˆ ut(uw) + coˆ ut(vw).

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