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By Jacques Douchet

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Nikopol, tome 2 : La Femme Piège

Los angeles Femme Piege - los angeles Trilogie Nikopol, Tome 2

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43 Soit f : R∗+ × R∗+ → R la fonction d´efinie par f (x, y) = 1) Montrer que g lim g(y) = 0. est continue et y→+∞ 2) Montrer que g est d´erivable sur ]0, +∞[. Calculer g . Etudier sa nature. π 2 e−xy h(x) dx . 0 y2 x2 si x = 0 , et soit g : R+ → R la fonction d´efinie par f (x, y) = 10 x2 cos y + si x > 0 2 2 2 3) Montrer que pour tout y ≥ 0 : π − Arctg y . 2 g(y) = 2 ln(x sin t+y cos t) dt . 0 4) En d´eduire que 1) Montrer que pour tout x, y > 0 : +∞ π π , x+y x+y ∇f (x, y) = . 46 Soient f, g : R → R les deux fonctions d´efinies respectivement par .

An+1 ) = 0 . ∂xn+1 30 Th´eor`eme des fonctions implicites Alors, il existe localement une unique fonction continue φ : B (a1 , . . , an ), δ → R v´erifiant les deux propri´et´es suivantes : 1) φ(a1 , . . , an ) = an+1 . 2) ∀ (x1 , . . , xn ) ∈ B (a1 , . . , an ), δ : f x1 , . . , xn , φ(x1 , . . , xn ) = 0. De plus, φ est de classe Cp . 1 Pour les fonctions ` a deux variables 1) Le vecteur ∇f (a, b) est normal a` la courbe x, y = φ(x) : |x − a| < δ C= au point P = (a, b). De plus, la pente de sa tangente en ce point est donn´ee par ∂f (a, b) ∂x .

3) Trouver les extrema de f sous les conditions x2 + 4y 2 + z 2 − 48 = 0 et z 2 − 8z + 16 = 0. 207 Trouver le minimum de la fonction f : R3 → R d´efinie par f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 sous les conditions x + y + z − 1 = 0 et xy − 1 = 0. 208 Trouver les extrema de la fonction f : R3 → R d´efinie par f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 sous les conditions x2 + y 2 + 2z 2 − 4 = 0 et xyz − 1 = 0. 209 Trouver les extrema de la fonction f : R3 → R d´efinie par f (x, y, z) = x + y + z sous les conditions (x − 4) + 2(y − 2) + 3(z − 3) = 0 et (x − 4)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 − 1 = 0.

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